“In the broad light of day, mathematicians check their equations and their proofs, leaving no stone unturned in their search for rigour. But, at night, under the full moon, they dream, they float among the stars and wonder at the miracle of the heavens. They are inspired. Without dreams there is no art, no mathematics, no life.” —Michael Atiyah. (obm, 1929-2019).

[En la extensa luz del día, los matemáticos revisan sus ecuaciones y sus demostraciones, no dejando piedra sin voltear en su búsqueda del rigor. Pero, de noche, bajo la luna llena, sueñan, flotan entre las estrellas, y se maravillan del milagro de los cielos. Se inspiran. Sin sueños no hay arte, ni matemáticas, ni vida.]

Gracias al Prof. Sir. Michael Atiyah (obm) [video] por compartir el pasaje poético previo en NOTICES, Vol. 57, No. 1, p. 8 (Enero 2010, AMS). También publicado en el libro The unravelers: mathematical snapshots (editado por Jean-François Dars, Annick Lesne y Anne Papillault y publicado por A. K. Peters, Ltd., 2008, en colaboración con el IHES). Como dice Barry Mazur en la contraportada, este libro [con sus gemas de ensayos y fotografías geniales] “ilumina la gloriosa experiencia de estar inmerso en las ciencias matemáticas”. Ojalá puedan adquirir, meditar y compartir este libro-poema.

Además el siguiente texto¹, también de Sir Michael Atiyah (obm) nos motiva a reflexionar en los tiempos actuales:

“La matemática es realmente un arte—es el arte de evitar cálculos por fuerza-bruta, mediante el desarrollo de conceptos y técnicas que le permiten a uno viajar más ligero. Déle a un matemático una máquina infinitamente poderosa para realizar cálculos, y lo privará de su fuerza impulsora interior. .. El peligro verdadero por tanto surgiría, si los matemáticos abdican sus responsabilidades y las transfieren a las computadoras. Debemos mantener a las computadoras permanentemente en el rol de ‘socio júnior’ y esto no será tarea fácil.”¹ —M. F. Atiyah (obm).

Mucho éxito en sus sueños y en su desarrollo matemático.

P.S. Se le invita también a leer el artículo “Michael Atiyah’s Imaginative State of Mind” (por Siobhan Roberts) en Quanta Magazine, 2016.

¹(traducido de) M. F. Atiyah (2016) Mathematics and the computer revolution. Izv. Math. 80, pp. 637-646.

Profesor en Princeton, June Huh se caracteriza por profundizar en los conceptos básicos y crear propuestas que extienden la teoría conocida. Además tiene una orientación poética tanto en su trabajo matemático, como en su vida familiar. Se le invita a conocer más sobre su biografía en el artículo de Jordana Cepelewicz “He Dropped Out to Become a Poet. Now He’s Won a Fields Medal” de Quanta Magazine. Como observación, podemos decir que llevó la poesía a su trabajo matemático, nunca abandonó su esencia poética.

Gracias a June Huh por su gran ejemplo, y también a Simons Foundation, por compartir este video.

En [1, pág. 1] Terence Tao nos dice “todos estamos de acuerdo que los matemáticos deben esforzarse for producir buenas matemáticas”. Como es característico de su creatividad, nos da algunos ejemplos de lo que pudieran llamarse “buenas matemáticas”:

• ” (i) Buena resolución de problemas matemáticos (e.g. un avance sustancial en un problema matemático importante);
• (ii) Buena técnica matemática (e.g. una utilización magistral de métodos existentes, o el desarrollo de nuevas herramientas);
• (iii) Buena teoría matemática (e.g. una marco conceptual o selección de notación que sistemáticamente unifique y generalice un cuerpo existente de resultados);
• (iv) Buena comprensión matemática  [insight] (e.g. una simplificación conceptual mayor, o el reconocimiento de un principio, heurística, analogía o tema unificador);
• (v) Buen descubrimiento matemático (e.g. la revelación de un nuevo fenómeno, conexión o contraejemplo, inesperado e intrigante);
• (vi) Buena aplicación matemática (e.g. a problemas importantes en física, ingeniería, ciencias computacionales, estadística, etc., o de un campo matemático a otro)”;
• (vii) Buena exposición matemática (e.g. un panorama detallado e informativo sobre un tópico matemático oportuno, o un argumento claro y bien motivado);
• (viii) Buena pedagogía matemática (e.g. un estilo de exposición o de escritura que permita a otros aprender y hacer matemáticas con mayor efectividad, o contribuciones a la educación matemática);
• (ix) Buena visión matemática (e.g. un programa de largo alcance y fructífero, o un conjunto de conjeturas);
• (x) Buen gusto matemático (e.g. una meta de investigación la cual es inherentemente interesante y que impacta tópicos, temas o cuestiones importantes)” ;
• (xi) Buenas relaciones públicas matemáticas (e.g. una exposición efectiva de los logros matemáticos para no-matemáticos, o de un campo matemático a otro);
• (xii) Buenas meta-matemáticas (e.g. avances en los fundamentos, filosofía, historia, erudición, o práctica de las matemáticas);
• (xiii) Matemáticas rigurosas (con todos los detalles correctos y cuidadosamente presentados en su totalidad);
• (xiv) Matemáticas hermosas (e.g. las sorprendentes identidades de Ramanujan; resultados que son fáciles (y bellos) de presentar pero no de demostrar);
• (xv) Matemáticas elegantes (e.g. el concepto de Paul Erdös’ de “demostraciones del Libro”; lograr un resultado difícil con un mínimo de esfuerzo);
• (xvi) Matemáticas creativas (e.g. una técnica o punto de vista radicalmente nuevo y original, nuevas familias de resultados);
• (xvii) Matemáticas útiles (e.g. un lema o método que se utilizará repetidamente en trabajo futuro de la materia);
• (xviii) Matemáticas fuertes (e.g. un resultado agudo que corresponde a contraejemplos conocidos, o un resultado que deduce una conclusión fuerte e inesperada, a partir de una hipótesis aparentemente débil);
• (xix) Matemáticas profundas (e.g. un resultado que claramente es no-trivial, por ejemplo que captura un fenómeno sutil, más allá del alcance de las herramientas más elementales);
• (xx) Matemáticas intuitivas (e.g. un argumento que es natural y fácilmente visualizable);
• (xxi) Matemáticas definitivas (e.g. una clasificación de todos los objetos de cierto tipo; la última palabra sobre un tópico matemático);
• (xxii) etc., etc.” (i.e. lista no exhaustiva, como dice Terence Tao, faltan matemáticas en el contexto de un salón de clases, de un libro de texto, o de áreas cercanas a las matemáticas como las ciencias naturales, [etc.])

Pero estimar la calidad de las diferentes manifestaciones del trabajo matemático, es una tarea sutil y compleja. Además, como dice Terence Tao: “Parece sin embargo existir una sensación indefinida, de que un cierto componente matemático “va por algo“, que es una pieza en un acertijo mayor, esperando a ser explorado. Y me parece que la persecución de tales promesas intangibles de potencial futuro, son al menos tan importantes como los aspectos más obvios y concretos de calidad matemática listados previamente” [1, pág. 10] 

[1] Terence Tao (2007) ⇒What is good mathematics? [https://arxiv.org/pdf/math/0702396v1.pdf] {21 formas de hacer matemáticas.}

P. S. (June 01, 2024). Se le invita a revisar la entrevista que realiza Steven Strogatz a Terence Tao “What makes for ‘Good’ Mathematics?“, [2024/02/01] en la serie The Joy of Why (Quanta Podcasts).

Mucho éxito en su desarrollo matemático.

(Se le invita a visitar: ⇒Book Preview en Google de: “I Want to Be a Mathematician”)

[rev. 2022.11.20]

“Si el uso de <connotación> es poesía, entonces insisto en ser un poeta cuando escribo y que aprecio poesía cuando leo. Una palabra seleccionada ingeniosamente que significa otras cosas que las que explícitamente dice—que sugiere una aura total, un ambiente, una atmósfera—que pone al lector en el cuadro de referencia correcto para apreciar y entender la denotación—eso es algo bueno. Eso es estilo, es poesía si quieres, es comunicación eficiente” —Paul Halmos [PH]¹

⇒Profr. Paul R. Halmos (obm, 1916-2006)

(⇒ quotes | refs | gene | mt | Video: Sobre escritura matemática (w/Donald Knuth) | Films: ♦ Integral Operators ♦ L1 ♦ L14 (1975) from lecture series film collection at Briscoe Center)

1. Dijksma, A. (1995) ⇒Paul R. Halmos: A Complete Professional Mathematician. [2015.07.03]
2. Ewing, John (2007) ⇒“Paul Halmos: In His Own Words” . Notices of the AMS 54:9 (1136-1144) [2015.07.02]
3. Halmos, P. R. (1944) ⇒The Foundations of Probability. The American Mathematical Monthly 51(9) 493-510 [2015.07.05]
4. Halmos, P. R. & Herbert E. Vaughan (1950) ⇒The Marriage Problem. American Journal of Mathematics, 72(1) pp. 214-215  [2015.07.04]
5. Halmos, P. R. (1968) ⇒Mathematics as a creative art. {American Scientist 56(4)} [2015.07.03]
6. Halmos, P. R. (1970) ⇒How to write mathematics. L’Enseignement Mathématique 16, fasc. 2 (123-152)  [2015.07.02]
7. Halmos, P. R. (1973) ⇒The Legend of John von Neumann.  American Mathematical Monthly 50, pp. 382-394 [2015.07.03] {w/o access: 2022.11.20}
8. Halmos, P. R. (1974) ⇒How to talk mathematics. Notices of the AMS 21(3) 155-158 [2015.07.04]
9. Halmos, P. R.; E. E. Moise and George Piranian (1975) ⇒The Problem of Learning to Teach. The American Mathematical Monthly 82:5 (466-476) [acc. 2015.07.03] {Se le invita a visitar una traducción (por ECB) al español: El Problema de Aprender a Enseñar [PDF | HTML] (2023)}
10. Halmos, Paul R. (1982) ⇒Does mathematics have elements?. Bull. Austral. Math. Soc., Vol. 25, pp. 161-175 {Publ. también por ⇒Mathematical Intelligencer} [2015.07.04]
11. Halmos, Paul R. (1982) ⇒The Thrills of Abstraction. The College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 4, pp. 243-251. acc. 2015.02.07]
12. Halmos, Paul R. (1990) ⇒The Calculus Turmoil. FOCUS 10 (6) 1-3. [2015.07.13]
13. Halmos, P. R. (1994) ⇒What is Teaching? The American Mathematical Monthly 101 (9), 848-854. [2015.07.03]
14. Henriksen, Melvin (1987) ⇒Review of I Want to Be a Mathematician: An Automathography by P. R. Halmos. Historia Mathematica, Vol. 14, pp. 200-203. {⇒Elsevier site} [2015.07.04]
15. Sunder, V. S. (2007) ⇒“Paul Halmos – Expositor Par Excellence”. Resonance 12:2 (17-28) [2015.07.02]
16. Weiss, Benjamin (2017) ⇒The unsolved problems of Halmos. YouTube video. [2019.03.14]

¹[PH] Traducido del texto en pág. 54 de Ewing, John H y F. W. Gehring (1991) Paul Halmos: celebrating 50 years of mathematics. Springer-Verlag.